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2541 – Algèbre – La factorisation d’un polynôme

La décomposition en facteur d’un polynôme donné
Les facteurs et le zéro d’un polynôme
La mise en évidence simple
La mise en évidence double
La différence de carrés
Les trinômes
Le carré parfait
Le produit et la somme
La complétion de carré

La décomposition en facteur d’un polynôme donné

La factorisation est utilisée très tôt en mathématiques. Lorsque l’on décompose un nombre en facteurs, on effectue une factorisation.

La décomposition en facteur (la factorisation) du nombre 24 peut nous donner les résultats suivants :
24 = 2 x 24
24 = 3 x 8
24 = 3 x 2 x 4

Lorsque l’on décompose un nombre jusqu’aux facteurs premiers , on effectue alors la factorisation première . Il existe une seule factorisation première pour chaque nombre que l’on obtient grâce à l’arbre des facteurs.

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) du nombre 24 nous donne le résultat suivant :
24 = 3 x 2 x 2 x 2 = 3 x 2³

On peut vouloir décomposer en facteur les polynômes aussi. Comme pour les nombres, les facteurs d’un polynôme peuvent être nombreux . Pour effectuer la mise en facteurs d’un polynôme , on se réfère à la division d’expressions algébriques .

Exemple

On veut trouver les facteurs de 12 x y² .

On peut donc avoir :

12 et x y²

ou 12 x et y²

ou 3 x et 4 y²

ou 3 x et 2 y et 2 y

Car lorsqu’on multiplie ces facteurs ensemble, on obtient toujours 12 x y².
12 x y² = 12 x y²
12 x y² = 12 x y²
12 x y² = 3 x 4 y²
12 x y² = 3 x 2 y 2 y

Aussi, on peut déduire un facteur à partir d’un autre facteur.

On donne 2 y comme facteur du monôme 12 x y². Pour trouver l’autre facteur il nous suffit d’effectuer une division.

Un autre exemple :

Soit le polynôme : -3 x³ y ⁴+ 4 x y²
Voici un de ses facteurs : x y²

L’autre facteur est :

Les facteurs et le zéro d’un polynôme

Il est courant que l’on cherche les zéros d’une fonction (les racines d’une fonction, les solutions d’une fonction) . Bien que l’on puisse s’en sortir en utilisant la formule de Descartes, la factorisation s’avère très souvent utile et rapide.

Chercher les zéros de la fonction, c’est tout d’abord poser que f(x) = 0 .

Exemple

On cherche les zéros de la fonction f(x) = x ²+ 3x + 2, on posera :
f(x) = x ²+ 3x + 2 = 0

On se retrouve donc avec une équation du type :
x ²+ 3x + 2 = 0

Pour connaître les zéros de la fonction, il restera à trouver les valeurs de x qui sont solutions de cette équation. C’est là qu’intervient la factorisation.

On peut factoriser, par la technique du trinôme , l’expression x ²+ 3x + 2 ainsi :

En effet, le produit de (x + 1) (x + 2) donne bien x ²+ 2x + x + 2 = x ²+ 3x + 2

On retrouve donc l’équation suivante :

Pour que le produit des deux facteurs soit égal à zéro, il faut nécessairement que l’un des deux facteurs soit égal à zéro .

En effet :

On trouve donc ces deux solutions possibles : ou bien (x + 1) = 0 ou bien (x + 2) = 0

Il suffit de résoudre ces équations simples :

Les zéros de la fonction f(x), ou bien les solutions de la fonction f(x) ou bien encore les racines de la fonction f(x) sont donc x = -1 et x = -2.

La factorisation s’avère surtout utile lorsque les équations ont un degré élevé . Par exemple, il est difficile de prime abord de déterminer quelles sont les solutions de :

x ³+ x ²– 2x = 0

Mais factorisé, ce polynôme est facile à résoudre avec les techniques de la mise en évidence simple et du trinôme :

x ³+ x ²– 2x = x(x + 2)(x – 1) = 0

D’après les facteurs trouvés, ou bien

Il faut donc que :

Les zéros de cette fonction, ou bien les solutions de cette fonction ou bien encore les racines de cette fonction sont donc x = 0, x = -2 et x = 1.

La mise en évidence simple

Factorisation par mise en évidence simple (partie 1)

Factorisation par mise en évidence simple (partie 2)

Cette technique vise à cherche un facteur commun à tous les termes du polynôme.

Pour réaliser une mise en évidence simple, on doit :
Étape 1 : Repérer le plus grand facteur commun à tous les termes dans un polynôme ;
Étape 2 : Mettre ce facteur en évidence en divisant chacun des termes du polynôme par le plus grand facteur commun . On obtient ainsi un produit de facteurs

Le plus grand facteur commun sera constitué du plus grand commun facteur des coefficients et des variables qui sont communes à tous les termes du polynôme affectées de leur plus petit exposant.

On peut vérifier que notre mise en évidence est bonne en multipliant nos facteurs entre eux.

La mise en évidence simple est toujours la première opération à effectuer lorsqu’on factorise un polynôme.
La mise en évidence s’appuie sur la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction.

La mise en évidence double

Factorisation par mise en évidence double

Les polynômes qui peuvent être factorisés par la double mise en évidence ont la forme :

axy + bx + cy + d
où a, b, c et d sont des constantes
et où x, y sont des variables .

Les caractéristiques importantes de ce type de polynôme sont :

la présence de deux variables ;
les deux variables sont multipliées ensemble dans un terme ;
les deux variables se retrouvent séparément chacune dans un terme ;
le nombre de termes doit être supérieur à 4 et est habituellement un nombre pair .

Pour réaliser une mise en évidence double, on doit :
Étape 1 : Regrouper, habituellement en deux groupes, les termes du polynôme qui ont des variables en commun ;
Étape 2 : Effectuer une mise en évidence simple dans chacun des regroupements de termes que nous avons faits ;
Étape 3 : Effectuer une deuxième mise en évidence simple des facteurs communs aux regroupements.

Voici un exemple : Factorisons -5xy + x – 20y + 4

Étape 1 : On regroupe les termes du polynôme qui ont des variables en commun.

-5xy + x – 20y + 4 = (- 5xy + x) + (– 20y + 4)

Étape 2 : On fait une mise en évidence simple dans chacun de nos regroupements :

On se retrouve donc avec : x (-5y + 1) + 4 (-5y + 1)

Étape 3 : On effectue une seconde mise en évidence des facteurs communs aux regroupements. Puisque (-5y + 1) est commun aux expressions x( -5y + 1 ) et 4( -5y + 1 ), on peut mettre (-5y + 1) en évidence.

Évidemment, on peut effectuer différent regroupement à l’étape 1. Nous arriverons à la même solution. Voici un exemple :

Voici un dernier exemple :

Factorisons le polynôme suivant : 4x³y + 6x² +8xy + 12

Peut-on faire une mise en évidence simple ? Oui car il y un facteur commun à tous les termes de ce polynôme. Effectuons une mise en évidence simple.

Peut-on effectuer une mise en évidence double à l’intérieur de la parenthèse ? Oui

La différence de carrés

Factorisation par différence de carrés

Les polynômes qui peuvent être factorisés par la différence de carrés ont la forme :

(premier terme) ² - (deuxième terme) ²
a ²– b ²
où a et b sont les deux termes .

On effectue la factorisation en servant de l’égalité suivante :

On peut se vérifier en utilisant la multiplication de deux binômes.

On peut voir la marche à suivre à partir de cet exemple : 9x ²– 16

Étape 1 : On commence par identifier les termes :
9x ²= 1 ^erterme = a ²
16 = 2 ^eterme = b ²
Étape 2 : On extrait la racine carrée de chaque terme :

Étape 3 : On retranscrit sous cette forme :

a ²– b ²= ( a + b ) ( a – b )
9x ²– 16 = ( 3x + 4) ( 3x – 4 )

La factorisation de 9x ²– 16 donne donc (3x + 4) (3x – 4)

Exemple : Factorisons 36x ⁴y² - 9z ⁶

Peut-on faire une mise en évidence simple ?
Oui car il y a un facteur commun à tous les termes du polynôme.

Peut-on effectuer une mise en évidence double dans la parenthèse ?
Non car il n’y a pas au moins 4 termes.

Peut-on effectuer une différence de carrés dans la parenthèse ? Oui

Les trinômes

Le produit et la somme

Factorisation par produit et somme

Pour factoriser un trinôme on utilise la technique du produit et de la somme. Voyons tout d’abord d’où provient cette technique.

Les trinômes que l’on cherche à factoriser ici sont du deuxième degré. Ils ont la forme :

x ²+ bx + c
où b et c sont des constantes
et où x est une variable.

Comment faire la factorisation d’un trinôme?
Et bien une fois factorisé, ce type de trinôme a la forme suivante :

(x + m ) (x + n )

Lorsqu’on fait le produit des parenthèses, on obtient :

En comparant les deux formes d’expressions :

x ²+ b x + c
x ²+ (m + n) x + mn

On s’aperçoit que :

1 ^ereforme = 2 ^eforme
b = m + n
c = mn

Ainsi, pour effectuer ce genre de factorisation, on part du principe que le résultat obtenu doit être : x ²+ bx + c = (x + m) (x + n ) et pour trouver les valeurs de m et n, on pose que :

Exemple Factorisons le trinôme suivant : x ²+ 4x – 32

Étape 1 : On identifie le b et le c dans le trinôme :

Étape 2 : On pose que mn = -32, car les facteurs sont plus restreints que la somme . Trouvons deux nombres qui multipliés ensemble donne -32 .

Les facteurs de -32 sont :

-1 et 32 1 et -32
-2 et 16 2 et -16
-4 et 8 4 et -8

Étape 3 : On pose que m + n = 4. Alors parmi les facteurs que nous avons trouvés, nous devons identifiés lequel de ces couples de facteurs a une somme égal à 4.

Reprenons les facteurs et calculons la somme de chacun.

-1 + 32 = 31 1 + -32 = -31
-2 + 16 = 14 2 + -16 = -14
-4 + 8 = 4 4 + -8 = -4

On retient donc m = -4 et n = 8
Puisque x ²+ bx + c = (x + m) (x + n )
La factorisation de x ²+ 4x – 32 sera donc égal à (x - 4)(x + 8)

On peut utiliser la même technique pour factoriser les trinômes qui ont la forme :

ax ²+ bx + c
où a, b et c sont des constantes
et où x est une variable.

Tout ressemble à la forme précédente, mais à une différence près :

1 ^ereforme = 2 ^eforme
b = m + n
ac = mn

Et pour trouver les valeurs de m et n, on pose que :

Exemple
Factorisons le trinôme suivant : 6x ²+ 17x +12

Étape 1 : On identifie le a, le b et le c dans le trinôme :

Étape 2 : On pose que mn = ac alors 6 x 12 = 72, car les facteurs sont plus restreints que la somme . Trouvons deux nombres qui multipliés ensemble donne 72 .

Les facteurs de 72 sont :

1 et 72 -1 et -72
2 et 36 -2 et -36
3 et 24 -3 et -24
4 et 18 -4 et -18
6 et 12 -6 et -12
8 et 9 -8 et -9

Étape 3 : On pose que m + n = 17. Alors parmi les facteurs que nous avons trouvés, nous devons identifiés lequel de ces couples de facteurs a une somme égal à 17.

Reprenons les facteurs et calculons la somme de chacun.

1 + 72 = 73 -1 + -72 = -73
2 + 36 = 38 -2 + -36 = -38
3 + 24 = 27 -3 + -24 = -27
4 + 18 = 22 -4 + -18 = -22
6 + 12 = 18 -6 + -12 = -18
8 + 9 = 17 -8 + -9 = -17

On retient donc que m = 8 et n = 9.

Remplaçons maintenant les facteurs que nous avons retenus dans l’expression suivante :

Étape 4 : Il ne nous reste qu’à effectuer une mise en évidence double

Le carré parfait

Factorisation de carrés parfaits

Le trinôme carré parfait est un cas particulier de trinôme .
Lorsqu’il est de cette forme : x ²+ bx + c, sa factorisation nous donne : (x + m) (x + n) mais dans un trinôme carré parfait m sera égal à n (m=n).
Donc : (x + m) (x + n) = (x + m) (x + m) = (x + m) ²
Exemple
Factorisons le trinôme suivant : x ²– 18x + 81
On pose que :

Facteurs de 81 :

1 et 81 -1 et -81
9 et 9 -9 et -9

Comme m + n = -18, on retient les facteurs -9 et -9 .
Donc : m = -9, n = -9, m = n

Le trinôme carré parfait peut également être de cette forme : ax ²+ bx + c

Pour reconnaître un trinôme carré parfait, le trinôme doit respecter les règles suivantes :
Le premier et le troisième terme doivent être des carrés.
Le terme du milieu doit être égal au double produit de la racine carrée du premier et du troisième terme.

Si le trinôme respecte tous les points importants, on le factorise comme suit :

Exemple Factorisons le trinôme suivant : 4x ²+12xy + 9y²

Étape 1 : On vérifie si le premier et le troisième terme sont des carrés.
Premier terme : 4x² = (2x) (2x) ; c’est un carré.
Troisième terme : 9y² = (3y) (3y) ; c’est un carré.

Étape 2 : On vérifie si le deuxième terme est le double produit des racines carrées du premier et du troisième terme :

Nous avons un trinôme carré parfait.

Étape 3 : On identifie le signe du deuxième terme. Le deuxième terme est positif (+).

Sa factorisation suit la règle suivante :

Dans l’ordre et dans une parenthèse :
On met la racine carrée du premier terme : 2x
On insère le signe du deuxième terme : +
On inscrit à la suite la racine carrée du troisième terme : 3y
On met le tout au carré : (2x + 3y)²

Exemple

Factorisons le trinôme suivant : 49x ²y ^²- 42xy + 9

Peut-on faire une mise en évidence simple ? Non il n’y a pas de facteur commun à tous les termes du polynôme.
C’est un cas de trinôme. Est-ce un trinôme carré parfait ? Vérifions.

Premier terme : 49x ²y ², c’est un carré. Sa racine carrée vaut 7xy.
Troisième terme : 9, c’est un carré. Sa racine carrée vaut 3.

Est-ce que le deuxième terme respecte l’égalité ? OUI

C’est un trinôme carré parfait.
On met la racine carrée du premier terme : 7xy
On insère le signe du deuxième terme : -
On inscrit à la suite la racine carrée du troisième terme : 3
On met le tout au carré : (7xy + 3)²

49x ²y ^²- 42xy + 9 = (7xy - 3)²

On peut toujours factoriser les trinômes carrés parfaits par la méthode du produit-somme. On arrivera à la même réponse.

Exemple

Factorisons le trinôme suivant : 49x ²y ^²- 42xy + 9 par la méthode produit-somme.

Étape 1 : On identifie le b et le c dans le trinôme :

Étape 2 : On pose que mn = ab = 49 x 9 = 441, car les facteurs sont plus restreints que la somme . Trouvons deux nombres qui multipliés ensemble donne 441.

Les facteurs de 441 sont :

1 et 441 -1 et -441
3 et 147 -3 et -147
7 et 63 -7 et -63
9 et 49 -9 et -49
21 et 21 -21 et -21

Étape 3 : On pose que m + n = -42

On reprend les facteurs et on calcule la somme de chacun.

1 + 441 = 442 -1 + -441 = -442
3 + 147 = 150 -3 + -147 = -150
7 + 63 = 70 -7 + -63 = -70
9 + 49 = 58 -9 + -49 = -58
21 + 21 = 42 -21 + -21 = -42

Puisque la somme de m + n doit être -42, on doit retenir : m = -21 et n = -21

Étape 4 : On effectue la factorisation en remplaçant les valeurs dans l’équation ci-dessus.

La complétion de carré

Factorisation par complétion de carré

La méthode de la complétion de carré peut s’avérer un moyen utile pour factoriser un trinôme.

Exemple
Factorisons le trinôme suivant : 2x²-4x-16

Étape 1 : On s’assure que le coefficient du premier terme est 1. Nous aurons une mise en évidence simple à faire pour commencer.

Le facteur 2 est commun à tous les termes, alors on le met en évidence :

Étape 2 : On veut transformer le trinôme entre crochets en un trinôme carré parfait.
Pour ce faire, on doit ajouter dans les crochets la valeur de :

Si on ajoute cette valeur, on doit aussi soustraire cette même valeur pour ne pas changer l’expression algébrique.

Étape 3 : On factorise le trinôme carré parfait et transformer le trinôme en différence de carrés.

Étape 4 : On factorise la différence de carrés .

Pour nous aider à bien factoriser, il faut toujours se poser les questions suivantes :

Puis-je faire une mise en évidence simple ? (facteur commun à tous les termes)
Puis-je faire une mise en évidence double ? (plus de 4 termes et habituellement un nombre pair de termes)
Dans les parenthèses que j’obtiens, ai-je une différence de carrés ?
Dans les parenthèses que j’obtiens, ai-je un trinôme ?

Exercices

Références

Théorie

Théorie, exercices de factorisation et corrigé

Des exemples de factorisation

Des exercices mais sans le corrigé

Des exercices avec le corrigé

Encore des exercices

62 exercices de factorisation

Corrigé des 62 exercices de factorisation

Vidéos

Questions et réponses

QUESTION 1

Décompose en facteur tout les polynome donné, s'il y a lieu.

4a²b + 8a² - 9b - 18 =

RÉPONSE 1

As-tu pensé pour le premier à faire une double mise en évidence au départ :

4a²b + 8a² - 9b - 18 =

(4a²b + 8a²) + (-9b - 18) =

4a²(b+2)-9(b+2)

On regroupe :

(4a²-9)(b+2)

(4a²-9) est une différence de deux carrés :

(2a-3)(2a+3)(b+2)

Ça te reviens à l'esprit. Souvent il faut factoriser pour mieux voir les choses.

Dominik

QUESTION 2

a³-4a²b-ab-4b
a²-1

Cette expression est équivalente à un produit de deux facteurs : un monôme et un binôme. Le monôme est "b" quel est le binôme ?

RÉPONSE 2

Voir la réponse dans le pdf.

QUESTION 3

Que donne la factorisation de ceci : 4_a² - 20_ab² + 25_b⁴

RÉPONSE 3

On avait : 4a²-20ab²+25b⁴

Et comme j'y ai vu un trinôme carré parfait, ce que j'ai fait m'a donné :

(2a-5b²)²

Et si je distribue :

(2a-5b²) (2a-5b²)

4a²-10ab²-10ab²+25b⁴

Donc,

4a²-20ab²+25b⁴Nina

QUESTION 4

Simplifie :
18a³ - 6a
6a

RÉPONSE 4

La clé du succès dans ce type de problème c'est la factorisation.

Je ferais une simple mise en évidence de 6a en haut

6a(3a²-1)

Les "6a" se simplifient, il ne reste que (3a²-1)

Dominik

QUESTION 5

Mettre en évidence :
8xy + 14y³x² +34xy³ ?

RÉPONSE 5

-Mise en évidence simple :

Il faut trouver le PGCD du polynôme.

Trouver le PGCD de chaque terme

Écrire ce PGCD en le faisant suivre de parenthèses.

Diviser chaque terme du polynôme par le PGCD pour déterminer l'expression entre parenthèses.

Exemple :

2ac+6bc+12c²

PGCD = 2c

Les facteurs : (2c)(a+3b+6c)

Avec ton numéro :
8xy + 14y³x² + 34xy³
On va suivre la démarche :
Le PGCD de chaque terme = 2xy
Donc, on divise chaque terme par 2xy
8xy/2xy = 4
14y³x²/2xy = 7xy²
34xy³/2xy = 17y²
On réécrit avec le facteur mis en évidence :
(2xy)(4+7xy²+17y²)

Dominik

QUESTION 6

Simplifie les expressions suivantes en utilisant la mise en évidence simple .

7.2X10⁴-5.8X10⁴

2X10^-6

RÉPONSE 6

On va essayer de faire une mise en évidence simple. Tu dois trouver des facteurs communs à 7,2 · 10⁴ et -5,8 · 10⁴.

Ils ont certainement 10⁴ comme facteur. Je vois aussi que l'on pourrait diviser les deux nombres par 2. Ça nous sera utile puisque le 2 pourra se simplifier avec le 2 au dénominateur.

Je vais donc mettre 2 · 10⁴ en évidence :

(2 · 10⁴) (3,6 - 2,8)

Rappelle toi que le tout est divisé par 2 · 10^-6.

(2 · 10⁴) (3,6 - 2,8) / (2 · 10^-6)

0,8 · 10¹⁰

Si tu veux remettre le nombre en notation scientifique, tu peux transformer en :

8 · 10⁹

Simon

QUESTION 7

L'aire d'un rectangle est donnée par l'expression (6x² - 9x - 27)
Quelles expressions algébriques peuvent représenter les dimensions de ce rectangle ?

RÉPONSE 7

On sait que l'aire d'un rectangle est fourni par le produit de la base et de la hauteur. Il nous faut donc trouver deux expressions algébriques différentes qui, multipliées ensemble, donneront 6x² – 9x – 27.

Il y a plusieurs réponses possibles à ton problème. Le cas le plus difficile de résolution serait la complétion de carré, alors que la façon la plus facile serait de trouver tout simplement deux termes qui multipliés ensemble donnent le trinôme (par exemple: 3 et 2x²-3x - 9).

Voici la résolution pour la complétion de carré:

Avec 6x² – 9x – 27, on doit commencer par mettre en évidence le 6 (qui correspond à "a" selon la forme ax² + bx + c).

6(x² - 1,5x - 4,5)

Pour faire un trinôme carré parfait, il nous faut maintenant additionner et soustraire au trinôme une valeur égale à b²/4 (ou (b/2)²).

6[(x² - 1,5x + (2,25/4) - (2,25/4)- 4,5)]

On peut maintenant factoriser:

6[(x² - 1,5x + (2,25/4) - (2,25/4)- 4,5)]

6[(x² - 1,5x + 0,5625 - 0,5625- 4,5)]

6[(x² - 1,5x + (0,75)² - (0,75)²- 4,5)]

6[(x² - 1,5x + (0,75)²) - (0,75)²- 4,5]

6[(x - 0,75)² - (0,75)²- 4,5]

6[(x - 0,75)² - 81/16]

6[(x - 0,75)² - (9/4)²]

6[(x - 3/4)² - (9/4)²]

On peut maintenant faire la différence de carrés:

6[(x - 3/4 - 9/4)(x - 3/4 + 9/4)]

Il ne reste qu'à simplifier:

6[(x - 3/4 - 9/4)(x - 3/4 + 9/4)]

6[(x - 12/4)(x + 6/4)]

6[(x - 3)(x + 1,5)]

Nancy, Allô Prof

QUESTION 8

6x² - ax - 2a² (Multiplier) x - a (Multiplier) 3ax + 2a²

------------------------Diviser par-------------------------

ax - a² (Multiplier) 9x² - 4a² (multiplier) 2x + a

RÉPONSE 8

Voir la réponse dans le pdf.